微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

ステップ 1.2

$\sqrt{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 1}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ を簡約します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

$\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ に書き換えます。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.4

${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.4.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1.4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.2

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.3.1

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2 + C}{2}$

ステップ 3.1.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.3.4.1

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.4.1.1

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ と $2$ を並べ替えます。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C}{2}$

ステップ 3.1.3.4.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ を簡約します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}) + C}{2}$

ステップ 3.1.3.4.2

${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + C}{2}$

ステップ 3.1.3.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.4.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + C}{2}$

ステップ 3.1.3.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + C}{2}$

ステップ 3.1.3.4.2.2.3

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

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ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

分数 $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$ を2つの分数に分割します。

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.2.1

$\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ に書き換えます。

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$y = {(\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2.3.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C)}^{2}$

微分積分 例

微分積分例