微分積分例

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + (2 m x^{2} y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$x^{4} e^{x}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{4} e^{x}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2 m x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 m x y^{2}$ の微分係数は $- 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x (2 y)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 m x y$

ステップ 1.4

$0$ から $4 m x y$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 m x y$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 m x^{2} y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 m x^{2} y]$

ステップ 2.2

$2 m y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 m x^{2} y$ の微分係数は $2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y (2 x)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m y x$

ステップ 2.4.2

$4 m y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m x y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 4 m x y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $4 m x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 4 m x y = 4 m x y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 4 m x y = 4 m x y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 4 m x y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 4 m x y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$4 m x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{N}$

ステップ 4.3

$2 m x^{2} y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 m x^{2} y$ を $N$ に代入します。

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{2 m x^{2} y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$m x y$ を $- 4 m x y - 1 \cdot 4 m x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$m x y$ を $- 4 m x y$ で因数分解します。

$\frac{m x y (- 4) - 1 \cdot 4 m x y}{2 m x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.1.2

$m x y$ を $- 1 \cdot 4 m x y$ で因数分解します。

$\frac{m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.1.3

$m x y$ を $m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)$ で因数分解します。

$\frac{m x y (- 4 - 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{m x y (- 4 - 4)}{2 m x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.3

$- 4$ から $4$ を引きます。

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

ステップ 4.3.3

$m$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x y \cdot - 8}{2 x^{2} y}$

ステップ 4.3.4

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$x$ を $x y \cdot - 8$ で因数分解します。

$\frac{x (y \cdot - 8)}{2 x^{2} y}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$x$ を $2 x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

ステップ 4.3.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

ステップ 4.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{- 8}{2 x}$

ステップ 4.3.6

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

ステップ 4.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

ステップ 4.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

ステップ 4.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{x}$

ステップ 4.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

ステップ 5.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 4$ を移動させて $- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 4}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

ステップ 6

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + 2 m x^{2} y d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.2

$x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.3

$x$ を $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$x$ を $x^{4} e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{3} e^{x}) - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ を $- 2 m x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ を $x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.5

$2 m x^{2} y$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 6.6

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x^{2}$ を $2 m x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + m y \frac{2}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.8

$m$ と $\frac{2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{m \cdot 2}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.9

$y$ と $\frac{m \cdot 2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y (m \cdot 2)}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.10

$2$ を $y m$ の左に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{2 y m}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{2 y m}{x^{2}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = \frac{2 y m}{x^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{2 m}{x^{2}}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{2 m}{x^{2}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \int y d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $\frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{2 m}{x^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3

$2$ に $x^{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{m}{x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.5

$\frac{m}{x^{2}}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$m y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{m y^{2}}{x^{2}}$ の微分係数は $m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$m y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$m y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$m y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$m y^{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$m y^{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$m y^{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$m y^{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$m y^{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$m y^{2} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$m y^{2} \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$m y^{2} (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2.3

$m$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$y^{2} (- \frac{m \cdot 2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2.4

$y^{2}$ と $\frac{m \cdot 2}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{y^{2} (m \cdot 2)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2.5

$2$ を $m$ の左に移動させます。

$- \frac{y^{2} (2 \cdot m)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2.6

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} - \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x}) - (- 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.1.4.1

$- 2 y^{2} m$ と $2 m y^{2}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 y^{2} m}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- 2 y^{2} m$ と $2 y^{2} m$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x} + 0}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.3

$- x^{3} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1.5.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2

$- 1 e^{x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} - 1 e^{x} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$\frac{d g}{d x} - e^{x} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $e^{x}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

ステップ 13

$e^{x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int e^{x} d x$

ステップ 13.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$g (x) = e^{x} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + e^{x} + C$

微分積分 例

微分積分例