微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

ステップ 1.2.2

$x^{3}$ を ${(x^{3})}^{1}$ に書き換えます。

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

ステップ 1.2.3

$u_{1} = x^{3}$ とします。次に $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$u_{1} = x^{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2.3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

ステップ 1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

簡約します。

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

ステップ 1.2.4.2

$\frac{1}{1 + u_{1}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

ステップ 1.2.4.3

$3$ を $1 + u_{1}$ の左に移動させます。

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

ステップ 1.2.5

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

ステップ 1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

ステップ 1.2.6.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

ステップ 1.2.6.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

ステップ 1.2.6.3

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

ステップ 1.2.7

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.1

$1 + u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

ステップ 1.2.7.1.2

総和則では、 $1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 1.2.7.1.3

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 1.2.7.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 1.2.7.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2.7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

ステップ 1.2.8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

ステップ 1.2.9

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + u_{1}$ で置き換えます。

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

ステップ 1.2.9.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

ステップ 1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$1 + x^{3}$

ステップ 2

各項に積分因数 $1 + x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $1 + x^{3}$ を掛けます。

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.3.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.4

$\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.5

$1 + x^{3}$ に $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.6.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.6.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.7

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.7.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.8

$1 - x + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.2.8.2

$3 x^{2} y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

ステップ 2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

ステップ 2.3.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

ステップ 2.3.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

ステップ 2.4

$1 + x^{3}$ に $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

ステップ 2.5.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

ステップ 2.5.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

ステップ 2.6

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

ステップ 2.7

$1 - x + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

ステップ 2.7.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$(1 + x^{3}) y = x + C$

ステップ 7

$(1 + x^{3}) y = x + C$ の各項を $1 + x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$(1 + x^{3}) y = x + C$ の各項を $1 + x^{3}$ で割ります。

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$1 + x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

ステップ 7.3.1.1.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

ステップ 7.3.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

ステップ 7.3.1.1.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

ステップ 7.3.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

ステップ 7.3.1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

ステップ 7.3.1.2.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

微分積分 例

微分積分例