微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \arctan (x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \arctan (x)$

ステップ 1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \arctan (x)$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 3

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \arctan (x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \arctan (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = x \arctan (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \arctan (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x y = \int x \arctan (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = \arctan (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x y = \arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x y = \arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7.2.2

$\arctan (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7.4

$x^{2}$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7.5

$x^{2}$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 7.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 7.5.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 7.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 7.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

ステップ 7.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

ステップ 7.5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7.6

単一積分を複数積分に分割します。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7.7

定数の法則を当てはめます。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7.8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7.9

式を簡約します。

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ステップ 7.9.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 7.9.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 7.10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

ステップ 7.11

簡約します。

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

ステップ 7.12

項を並べ替えます。

$x y = \frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

ステップ 8.1.2

括弧を削除します。

$x y = \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

ステップ 8.2

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1.1.1

$x$ を $\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)}{1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.1.2.5

$\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x) + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.2

$\frac{1}{2} (\arctan (x) x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.2.1

$\arctan (x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\arctan (x)}{2} x + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.2.2

$\frac{\arctan (x)}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.4.1

$- \frac{x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.4.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.4.4

式を書き換えます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (x)$ をまとめます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{\arctan (x)}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.1.8

$\frac{\arctan (x)}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3.2

$\frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例