微分積分例

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$8$ は $y$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$8$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 3 x + 2$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = 3 x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$3 x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

ステップ 2.3.3.2

$3$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$\frac{1}{3}$ と $12$ をまとめます。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$4 (- u^{- 1} + C_{2})$ を $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $3 x + 2$ で置き換えます。

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

ステップ 3.1.3.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ を掛けます。

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.3.4.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.4.3

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.5.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.5.2

$- 1$ を $3 K x$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.5.3

$- 1$ を $- 1 (4) - (- 3 K x)$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.5.4

$- 1$ を $2 K$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.5.5

$- 1$ を $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

ステップ 3.1.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 3.1.3.7

$\frac{1}{4}$ に $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ をかけます。

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ を ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$4 - 3 K x - 2 K$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

ステップ 3.3.1.2

$4 (3 x + 2)$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

ステップ 3.3.1.3

分数 $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

ステップ 3.3.1.4

$- 1$ と ${(\frac{1}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

ステップ 3.3.1.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

ステップ 3.3.1.6

括弧を付けます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

ステップ 3.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

ステップ 3.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

微分積分 例

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