微分積分例

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $2 x y d y$ を引きます。

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} - y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

ステップ 2.4

$0$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

ステップ 3

$N (x, y) = - 2 x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 3.2

$- 2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

ステップ 3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$- 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 y = - 2 y$

ステップ 4.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 2 y = - 2 y$ は恒等式です。

ステップ 5

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

ステップ 6

$N (x, y) = - 2 x y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2 x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

ステップ 6.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 6.3

答えを簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2

簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2.2

$x$ と $\frac{- 2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.4.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

ステップ 6.3.2.4.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

ステップ 7

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

ステップ 9

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

ステップ 9.2

総和則では、 $- x y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

ステップ 9.3

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 9.3.1

$- y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y^{2}$ の微分係数は $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

ステップ 9.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

ステップ 9.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

ステップ 9.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

ステップ 9.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

ステップ 10

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1.1

方程式の両辺に $y^{2}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

ステップ 10.1.2

$x^{2} - y^{2} + y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.1.2.1

$- y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

ステップ 10.1.2.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

ステップ 11

$x^{2}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

ステップ 11.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x^{2} d x$

ステップ 11.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 13

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$

微分積分 例

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