微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 2 x^{2} - 1$ とします。次に $d u = 4 x d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 2 x^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2 x^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $2 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

ステップ 2.3.3.2

$4$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1.1

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.1.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $2 x^{2} - 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ の $5$ を $x$ に、 $4$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ として書き換えます。

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $25$ をかけます。

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

ステップ 4.2.2

$50$ から $1$ を引きます。

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

ステップ 4.2.3

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

ステップ 4.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

ステップ 4.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

ステップ 4.2.5.2

式を書き換えます。

$7^{1} + K = 4$

ステップ 4.2.6

指数を求めます。

$7 + K = 4$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$K = 4 - 7$

ステップ 4.3.2

$4$ から $7$ を引きます。

$K = - 3$

ステップ 5

$- 3$ を $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 3$ を $K$ に代入します。

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$

微分積分 例

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