微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

ステップ 1.2

$\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\ln (\frac{y}{x})$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\ln (V) V$ の因数を並べ替えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

ステップ 6.1.2

因数分解。

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ステップ 6.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

ステップ 6.1.2.2

$V$ を $V \ln (V) - V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1

$V$ を $V \ln (V)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

ステップ 6.1.2.2.2

$V$ を $- V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

ステップ 6.1.2.2.3

$V$ を $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

ステップ 6.1.4

$V (\ln (V) - 1)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

ステップ 6.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

$u_{1} = \ln (V)$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ すると、 $V d u_{1} = d V$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.2.1.1

$u_{1} = \ln (V)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$\ln (V)$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$V$ に関する $\ln (V)$ の微分係数は $\frac{1}{V}$ です。

$\frac{1}{V}$

ステップ 6.2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$u_{2} = u_{1} - 1$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u_{2} = u_{1} - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$u_{1} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

ステップ 6.2.2.2.1.2

総和則では、 $u_{1} - 1$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

ステップ 6.2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

ステップ 6.2.2.2.1.4

$- 1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.2.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.2.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 6.2.2.4.1

$u_{2}$ のすべての発生を $u_{1} - 1$ で置き換えます。

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.2

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (V)$ で置き換えます。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 6.3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

ステップ 6.3.3

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

ステップ 6.3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

ステップ 6.3.5

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.5.1

方程式を $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

ステップ 6.3.5.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.5.4

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.5.4.1

$e^{C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

ステップ 6.3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

ステップ 6.3.5.4.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

ステップ 6.3.5.4.4

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

ステップ 6.3.5.4.5

対数の定義を利用して $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

ステップ 6.3.5.4.6

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.5.4.6.1

方程式を $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ として書き換えます。

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

ステップ 6.3.5.4.6.2

$e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ の因数を並べ替えます。

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

ステップ 6.4

定数項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

積分定数を簡約します。

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

ステップ 6.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = e^{C | x | + 1}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = e^{C | x | + 1} x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$e^{C | x | + 1} x$ の因数を並べ替えます。

$y = x e^{C | x | + 1}$

微分積分 例

微分積分例