微分積分例

$x y^{2} d y + (x^{2} + 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(x^{2} + 1) d x$ を引きます。

$x y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4.3

共通因数を約分します。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4.4

式を書き換えます。

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x |) + C)$

ステップ 5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

ステップ 5.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1

$3 (- \frac{x^{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

ステップ 5.2.2.1.3.1.2

$- 3$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

ステップ 5.2.2.1.3.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

ステップ 5.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

ステップ 5.3

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

ステップ 5.5

$\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- \ln ({| x |}^{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- \ln ({| x |}^{3})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 2 \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.3.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln ({| x |}^{3})$ を簡約します。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.3.2

${({| x |}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.3.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{6}$ の絶対値を削除します。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

ステップ 5.5.4

$3 C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 5.5.5

$3 C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

ステップ 5.5.6

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

ステップ 5.5.7

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

ステップ 5.5.8

$\sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ を $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 5.5.9

$\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.5.10

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.10.1

$\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.5.10.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 5.5.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.5.10.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 5.5.10.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.10.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.5.10.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.5.10.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.5.10.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.10.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.5.10.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.5.10.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 5.5.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.11.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 5.5.11.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 5.5.12

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.12.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

ステップ 5.5.12.2

$\frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + C)}}{2}$

微分積分 例

微分積分例