微分積分例

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

ステップ 1

$v = f - c$ とします。 $v$ を $f - c$ に代入します。

$\frac{d f}{d t} = y v$

ステップ 2

$f - c$ を微分し、 $\frac{d v}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $f - c$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ です。

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [f]$ を $f'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

ステップ 2.3

$- c$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- c$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

ステップ 2.4

$f'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d v}{d t} = f'$

ステップ 3

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$\frac{d v}{d t} = y v$

ステップ 4

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

両辺に $\frac{1}{v}$ を掛けます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

ステップ 4.2

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$v$ を $y v$ で因数分解します。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

ステップ 4.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v} d v = y d t$

ステップ 5

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

ステップ 5.2

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

ステップ 5.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

ステップ 5.3.2

項を並べ替えます。

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

ステップ 5.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| v |) = t y + C$

ステップ 6

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

ステップ 6.2

対数の定義を利用して $\ln (| v |) = t y + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{t y + C} = | v |$

ステップ 6.3

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式を $| v | = e^{t y + C}$ として書き換えます。

$| v | = e^{t y + C}$

ステップ 6.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$v = \pm e^{t y + C}$

ステップ 7

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{t y + C}$ を $e^{t y} e^{C}$ に書き換えます。

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

ステップ 7.2

$e^{t y}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

ステップ 7.3

定数を正または負でまとめます。

$v = C e^{t y}$

ステップ 8

$v$ のすべての発生を $f - c$ で置き換えます。

$f - c = C e^{t y}$

ステップ 9

方程式の両辺に $c$ を足します。

$f = C e^{t y} + c$

微分積分 例

微分積分例