微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

ステップ 1.2.2

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

ステップ 1.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$y$ を $y e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{2 e^{x} + C}$ を $e^{2 e^{x}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{2 e^{x}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{2 e^{x}}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{2 e^{x}}$ の $0$ を $x$ に、 $4$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$4 = C e^{2 e^{0}}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{2 e^{0}} = 4$ として書き換えます。

$C e^{2 e^{0}} = 4$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

ステップ 6.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$C e^{2} = 4$

ステップ 6.3

$C e^{2} = 4$ の各項を $e^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$C e^{2} = 4$ の各項を $e^{2}$ で割ります。

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$e^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

ステップ 6.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{4}{e^{2}}$

ステップ 7

$\frac{4}{e^{2}}$ を $y = C e^{2 e^{x}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{4}{e^{2}}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

ステップ 7.2

$\frac{4}{e^{2}}$ と $e^{2 e^{x}}$ をまとめます。

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

ステップ 7.3

$e^{2 e^{x}}$ と $e^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$e^{2}$ を $4 e^{2 e^{x}}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

ステップ 7.3.2.4

$4 e^{2 e^{x} - 2}$ を $1$ で割ります。

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$

微分積分 例

微分積分例