微分積分例

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

ステップ 1

$v = \frac{d q}{d t}$ とします。すると $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d q}{d t}$ に、 $\frac{d v}{d t}$ を $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $t$ について微分方程式を得ます。

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

$\frac{d v}{d t}$ について解きます。

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ステップ 2.1.1

方程式の両辺から $25 v$ を引きます。

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

ステップ 2.1.2

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

ステップ 2.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{d v}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

ステップ 2.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$\frac{- 25 v}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

ステップ 2.1.2.3.2

$- 1 \cdot (- 25 v)$ を $- (- 25 v)$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

ステップ 2.1.2.3.3

$- 25$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

ステップ 2.2

両辺に $\frac{1}{v}$ を掛けます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

ステップ 2.3.2

$25$ と $\frac{1}{v}$ をまとめます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

ステップ 2.3.3

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

ステップ 2.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

ステップ 2.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

ステップ 3.2

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

ステップ 3.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C_{3}$ としてまとめます。

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

ステップ 4

$v$ について解きます。

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ステップ 4.1

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

ステップ 4.2

対数の定義を利用して $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

ステップ 4.3

$v$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ として書き換えます。

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

ステップ 4.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

$e^{25 t + C_{3}}$ を $e^{25 t} e^{C_{3}}$ に書き換えます。

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

ステップ 5.2

$e^{25 t}$ と $e^{C_{3}}$ を並べ替えます。

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

ステップ 5.3

定数を正または負でまとめます。

$v = C_{4} e^{25 t}$

ステップ 6

$v$ のすべての発生を $\frac{d q}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

ステップ 7

方程式を書き換えます。

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

ステップ 8

両辺を積分します。

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ステップ 8.1

各辺の積分を設定します。

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

ステップ 8.2

定数の法則を当てはめます。

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

ステップ 8.3

右辺を積分します。

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ステップ 8.3.1

$C_{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $C_{4}$ を積分の外に移動させます。

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

ステップ 8.3.2

$u = 25 t$ とします。次に $d u = 25 d t$ すると、 $\frac{1}{25} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.3.2.1

$u = 25 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 8.3.2.1.1

$25 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [25 t]$

ステップ 8.3.2.1.2

$25$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $25 t$ の微分係数は $25 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$25 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 \cdot 1$

ステップ 8.3.2.1.4

$25$ に $1$ をかけます。

$25$

ステップ 8.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

ステップ 8.3.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

ステップ 8.3.4

$\frac{1}{25}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{25}$ を積分の外に移動させます。

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

ステップ 8.3.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

ステップ 8.3.6

簡約します。

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

ステップ 8.3.7

$u$ のすべての発生を $25 t$ で置き換えます。

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

ステップ 8.3.8

項を並べ替えます。

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

ステップ 8.3.9

項を並べ替えます。

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

ステップ 8.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$

微分積分 例

微分積分例