微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

ステップ 1

$x$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $x$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

ステップ 1.2

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

ステップ 1.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

ステップ 1.4

簡約します。

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.7

簡約します。

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

ステップ 3.3.8

項を並べ替えます。

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$

微分積分 例

微分積分例