微分積分例

$\frac{d H}{d t} = - q H$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{H}$ を掛けます。

$\frac{1}{H} \frac{d H}{d t} = \frac{1}{H} (- q H)$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{H} \frac{d H}{d t} = - \frac{1}{H} (q H)$

ステップ 1.2.2

$H$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$- \frac{1}{H}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{H} \frac{d H}{d t} = \frac{- 1}{H} (q H)$

ステップ 1.2.2.2

$H$ を $q H$ で因数分解します。

$\frac{1}{H} \frac{d H}{d t} = \frac{- 1}{H} (H q)$

ステップ 1.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{H} \frac{d H}{d t} = \frac{- 1}{H} (H q)$

ステップ 1.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{H} \frac{d H}{d t} = - q$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{H} d H = - q d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{H} d H = \int - q d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{H}$ の $H$ に関する積分は $\ln (| H |)$ です。

$\ln (| H |) + C_{1} = \int - q d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| H |) + C_{1} = - q t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| H |) = - q t + C$

ステップ 3

$H$ について解きます。

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ステップ 3.1

$H$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| H |)} = e^{- q t + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| H |) = - q t + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- q t + C} = | H |$

ステップ 3.3

$H$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| H | = e^{- q t + C}$ として書き換えます。

$| H | = e^{- q t + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$H = \pm e^{- q t + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- q t + C}$ を $e^{- q t} e^{C}$ に書き換えます。

$H = \pm e^{- q t} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{- q t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$H = \pm e^{C} e^{- q t}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$H = C e^{- q t}$

微分積分 例

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