微分積分例

$\frac{d r}{d t} = 4 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d r = (4 t + \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d r = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$r + C_{1} = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$r + C_{1} = \int 4 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$r + C_{1} = 4 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.4

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$r + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$r + C_{1} = 2 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ の $- π$ を $t$ に、 $3$ を $r$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = 2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$ として書き換えます。

$2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

積の法則を $- π$ に当てはめます。

$2 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.3

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 π^{2} + \tan (- π) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 π^{2} - \tan (0) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.5

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 π^{2} - 0 + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 π^{2} + 0 + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

$2 π^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 π^{2} + K = 3$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $2 π^{2}$ を引きます。

$K = 3 - 2 π^{2}$

ステップ 5

$3 - 2 π^{2}$ を $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$3 - 2 π^{2}$ を $K$ に代入します。

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + 3 - 2 π^{2}$

微分積分 例

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