微分積分例

$y + x \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} = - y$

ステップ 1.1.2

$x \frac{d y}{d x} = - y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x \frac{d y}{d x} = - y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 3.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y | | x |) = C$

ステップ 3.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| y x |) = C$

ステップ 3.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (| y x |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | y x |$

ステップ 3.6

$y$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $| y x | = e^{C}$ として書き換えます。

$| y x | = e^{C}$

ステップ 3.6.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y x = \pm e^{C}$

ステップ 3.6.3

$y x = \pm e^{C}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$y x = \pm e^{C}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

ステップ 3.6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

ステップ 3.6.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例