微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

ステップ 1.2

$\sqrt{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt{y}$ を $2 \sqrt{y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{2}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

$\ln (| x |)$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.2

簡約します。

$y = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

微分積分 例

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