微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

$v = \frac{d y}{d x}$ とします。すると $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $\frac{d v}{d x}$ を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $x$ について微分方程式を得ます。

$\frac{d v}{d x} - v = 0$

ステップ 2

$P (x) = - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x + C_{1}}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{- x}$ を掛けます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} \cdot 0$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} \cdot 0$

ステップ 3.3

$e^{- x}$ に $0$ をかけます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$

ステップ 3.4

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 0$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 0$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 0 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- x} v = \int 0 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$e^{- x} v = 0 + C_{2}$

ステップ 7.2

$0$ と $C_{2}$ をたし算します。

$e^{- x} v = C_{2}$

ステップ 8

$e^{- x} v = C_{2}$ の各項を $e^{- x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{- x} v = C_{2}$ の各項を $e^{- x}$ で割ります。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

ステップ 10

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

ステップ 11

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

ステップ 11.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

ステップ 11.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$C_{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $C_{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- x}} d x$

ステップ 11.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$e^{- x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- x})}^{- 1} d x$

ステップ 11.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.1

${(e^{- x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x \cdot - 1} d x$

ステップ 11.3.2.2.1.2

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{1 x} d x$

ステップ 11.3.2.2.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x} d x$

ステップ 11.3.2.2.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{x} d x$

ステップ 11.3.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + C_{3} = C_{2} (e^{x} + C_{4})$

ステップ 11.3.4

簡約します。

$y + C_{3} = C_{2} e^{x} + C_{5}$

ステップ 11.3.5

項を並べ替えます。

$y + C_{3} = e^{x} C_{2} + C_{5}$

ステップ 11.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = e^{x} C + D$

微分積分 例

微分積分例