微分積分例

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + (x^{2} y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3]$

ステップ 1.2

総和則では、 $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 1.3.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x^{2} y^{2}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 1.4.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + 0$

ステップ 1.5.2

$2 x y + 2 x^{2} y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

ステップ 2.4

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

ステップ 2.4.2

$2 y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x y + 2 x^{2} y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$2 x y + 2 x^{2} y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{N}$

ステップ 4.3

$x^{2} y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2} y$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$x y$ を $2 x y + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$x y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{x y (2) + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.1.2

$x y$ を $2 x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{x y (2) + x y (2 x) - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.1.3

$x y$ を $- 1 \cdot 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{x y (2) + x y (2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.1.4

$x y$ を $x y (2) + x y (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.1.5

$x y$ を $x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{x y (2 + 2 x - 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x y (2 + 2 x - 2)}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.3

$2 + 2 x - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.2.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{x y (2 x + 0)}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.3.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x y (2 x)}{x^{2} y}$

$\frac{x y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.4

指数をまとめます。

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ステップ 4.3.2.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x y \cdot 2}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y \cdot 2}{y}$

ステップ 4.3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot 2}{y}$

ステップ 4.3.4.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int 2 d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

ステップ 6

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + x^{2} y d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) e^{2 x} d x + x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y d y = 0$

ステップ 6.3

$x^{2} y$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y e^{2 x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{2} y e^{2 x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x^{2} y e^{2 x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x^{2} e^{2 x}$ は $y$ に対して定数なので、 $x^{2} e^{2 x}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \int y d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.1

$x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

ステップ 8.3.3

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.4

$\frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.6

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.6.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.3.11

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$x^{2}$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} y^{2}}{2} (2 e^{2 x}) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.2

$2$ と $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.3

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} y^{2}) e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.4.2

$x^{2} y^{2} e^{2 x}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.5

$e^{2 x}$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.6

$2$ と $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ をまとめます。

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.7

$\frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2}) x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.8.1

共通因数を約分します。

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 e^{2 x} y^{2} x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.2.8.2

$e^{2 x} y^{2} x$ を $1$ で割ります。

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 11.5.4

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $y^{2} x e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

ステップ 12.1.3

$x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.3.1

$x^{2} y^{2} e^{2 x}$ から $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} + 0 - y^{2} x e^{2 x}$

ステップ 12.1.3.2

$x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

ステップ 12.1.3.3

$x y^{2} e^{2 x}$ と $- y^{2} x e^{2 x}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} x + 3 e^{2 x} - e^{2 x} y^{2} x$

ステップ 12.1.3.4

$e^{2 x} y^{2} x$ から $e^{2 x} y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x} + 0$

ステップ 12.1.3.5

$3 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$

ステップ 13

$3 e^{2 x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 e^{2 x} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 3 e^{2 x} d x$

ステップ 13.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 3 \int e^{2 x} d x$

ステップ 13.4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 13.4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 13.4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 13.4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 13.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = 3 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 13.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = 3 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 13.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 3 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 13.7

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$g (x) = \frac{3}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 13.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (x) = \frac{3}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 13.9

簡約します。

$g (x) = \frac{3}{2} e^{u} + C$

ステップ 13.10

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$g (x) = \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$ を簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.4

$\frac{3}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例