微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x - 2} y = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{2}{x - 2}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x - 2} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{2}{x - 2}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x - 2} d x}$

ステップ 1.2.2

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.2.2.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 1.2.4

簡約します。

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

ステップ 1.2.5

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$e^{2 \ln (| x - 2 |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x - 2)}$

ステップ 1.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(x - 2)}^{2})}$

ステップ 1.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(x - 2)}^{2}$

ステップ 1.6

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$(x - 2) (x - 2)$

ステップ 1.7

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 2) - 2 (x - 2)$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

ステップ 1.7.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.8.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 1.8.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

ステップ 1.8.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 2

各項に積分因数 $x^{2} - 4 x + 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $x^{2} - 4 x + 4$ を掛けます。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.2

$\frac{2}{x - 2}$ と $y$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.3

$x^{2} - 4 x + 4$ に $\frac{2 y}{x - 2}$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.4

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.4.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.4.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.5

${(x - 2)}^{2}$ と $x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x - 2$ を ${(x - 2)}^{2} \cdot 2 y$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.5.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.5.2.4

$(x - 2) \cdot 2 y$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x - 2) \cdot 2 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.6

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.8

$- 2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 4) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.2.9

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 2.3

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) ((x - 2) (x - 2))$

ステップ 2.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

ステップ 2.4.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

ステップ 2.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

ステップ 2.5.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

ステップ 2.5.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

ステップ 2.5.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$

ステップ 2.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ を展開します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2 + 2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.4

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 1} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.7

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.7.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.7.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.8

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.9

$4$ に $- 4$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.10

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.11

$4$ に $4$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 2.8

$- 4 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 2.9

$4 x^{2}$ と $16 x^{2}$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 2.10

$20 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 16 x - 16 x + 16$

ステップ 2.11

$- 16 x$ から $16 x$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] d x = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} d x + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

ステップ 6.2

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

ステップ 6.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $- 8$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 \int x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

ステップ 6.4

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

ステップ 6.5

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $24$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

ステップ 6.6

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

ステップ 6.7

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $- 32$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 \int x d x + \int 16 d x$

ステップ 6.8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 16 d x$

ステップ 6.9

定数の法則を当てはめます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

ステップ 6.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

ステップ 6.10.1.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

ステップ 6.10.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 16 x + C$

ステップ 6.10.2

簡約します。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

ステップ 6.10.3

項を並べ替えます。

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

ステップ 7

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ の各項を $x^{2} - 4 x + 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ の各項を $x^{2} - 4 x + 4$ で割ります。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) y}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$x^{2} - 4 x + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3.1.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.4

まとめる。

$y = \frac{x^{5} \cdot 1}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.5

$x^{5}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.6

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.6.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3.1.6.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.6.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.8

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.8.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3.1.8.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.8.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.9

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.9.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3.1.9.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.9.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.11

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.11.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.11.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3.1.11.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.11.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 7.3.1.12

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.12.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

ステップ 7.3.1.12.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3.1.12.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

ステップ 7.3.1.12.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例