微分積分例

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(1 + e^{2 x}) d x$ を引きます。

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{e^{x}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

ステップ 3.2

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{e^{x}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

ステップ 3.2.2

$e^{x}$ を $e^{x} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

ステップ 3.2.4

式を書き換えます。

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

ステップ 3.6

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{e^{x}}$ をまとめます。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

ステップ 3.7

$e^{2 x}$ と $e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$e^{x}$ を $e^{2 x}$ で因数分解します。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$1$ を掛けます。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

ステップ 3.7.2.3

式を書き換えます。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

ステップ 3.7.2.4

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

ステップ 4.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

ステップ 4.2.3

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ を $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$e^{x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

${(e^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.3.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.3.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.3.2.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.4

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.4.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.3.4.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.3.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.6.2

$\int e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

ステップ 4.3.8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

ステップ 4.3.9

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

ステップ 4.3.10

簡約します。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

ステップ 4.3.11

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $- 3$ を掛けます。

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$y^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

$- \frac{y^{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.3.2

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

ステップ 5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

ステップ 5.4

$3$ を $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$3$ を $- 3 e^{- x}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

ステップ 5.4.2

$3$ を $3 e^{x}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

ステップ 5.4.3

$3$ を $- 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

ステップ 5.4.4

$3$ を $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

ステップ 5.4.5

$3$ を $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$

微分積分 例

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