微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x + 3}$ , $y (- 1) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

ステップ 1.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{2} = x + 3$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = x + 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.1.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y - 1 |) = \ln (| x + 3 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| x + 3 |) = C$

ステップ 3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| x + 3 |$ を掛けます。

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$| x + 3 |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y - 1 | = e^{C} | x + 3 |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{C} | x + 3 |$ の因数を並べ替えます。

$| y - 1 | = | x + 3 | e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y - 1 = \pm | x + 3 | e^{C}$

ステップ 3.5.4.3

$\pm | x + 3 | e^{C}$ の因数を並べ替えます。

$y - 1 = \pm e^{C} | x + 3 |$

ステップ 3.5.4.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \pm e^{C} | x + 3 | + 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm C | x + 3 | + 1$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | x + 3 | + 1$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C | x + 3 | + 1$ の $- 1$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$0 = C | - 1 + 3 | + 1$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C | - 1 + 3 | + 1 = 0$ として書き換えます。

$C | - 1 + 3 | + 1 = 0$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$C | 2 | + 1 = 0$

ステップ 6.2.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$C \cdot 2 + 1 = 0$

ステップ 6.2.3

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$2 C + 1 = 0$

ステップ 6.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 C = - 1$

ステップ 6.4

$2 C = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$2 C = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.4.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$C = - \frac{1}{2}$

ステップ 7

$- \frac{1}{2}$ を $y = C | x + 3 | + 1$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$- \frac{1}{2}$ を $C$ に代入します。

$y = - \frac{1}{2} | x + 3 | + 1$

ステップ 7.2

$| x + 3 |$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + 1$

ステップ 7.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- | x + 3 | + 2}{2}$

微分積分 例

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