微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 2 x) + 1$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = 3 y + 3 (2 x) + 1$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 3 (2 x) + 1$

ステップ 1.3

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 \cdot 3 x + 1$

ステップ 2

$P (x) = - 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 3 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 3 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 3 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- 3 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- 3 x}$ を掛けます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

ステップ 3.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$e^{- 3 x}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

ステップ 3.4

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 \int x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.3

$u = x$ と $d v = e^{- 3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.4.2

$x$ と $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.4.3

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.6.2

$\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.7

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.8

$u_{1} = - 3 x$ とします。次に $d u_{1} = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.8.1

$u_{1} = - 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.1

$- 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 7.8.1.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 7.8.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 7.8.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.9

簡約します。

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ステップ 7.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.9.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.10

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.11

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.12.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.12.2

$3$ に $3$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.13

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 7.14

$u_{2} = - 3 x$ とします。次に $d u_{2} = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.14.1

$u_{2} = - 3 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.14.1.1

$- 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 7.14.1.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 7.14.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 7.14.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

ステップ 7.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

ステップ 7.15.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

ステップ 7.16

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

ステップ 7.17

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 7.18

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 7.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.19.1

簡約します。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.19.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.19.2.1

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.19.2.2

$e^{- 3 x}$ と $\frac{x}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.19.2.3

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.20

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.20.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.20.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

ステップ 7.21

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

ステップ 7.22

項を並べ替えます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

$- \frac{1}{3} (e^{- 3 x} x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1.1

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.1.1.2

$x$ と $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.1.2

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$- \frac{x e^{- 3 x}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{- 3 x} y = 6 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = 3 (2) \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.3.3

共通因数を約分します。

$e^{- 3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.3.4

式を書き換えます。

$e^{- 3 x} y = 2 (- x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

$- \frac{e^{- 3 x}}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.5.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.5.3

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.5.4

共通因数を約分します。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.5.5

式を書き換えます。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.6

$2$ と $\frac{- e^{- 3 x}}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{2 (- e^{- 3 x})}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.9

$- 2 x e^{- 3 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.10

$- 2 x e^{- 3 x}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.11

公分母の分子をまとめます。

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.12

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.12.1

$2 e^{- 3 x}$ を $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.12.1.1

$2 e^{- 3 x}$ を $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.12.1.2

$2 e^{- 3 x}$ を $- 2 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.12.1.3

$2 e^{- 3 x}$ を $2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3 - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.12.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 3 x - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.13

$- 1$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.14

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1 (1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.15

$- 1$ を $- (3 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.16

$- (3 x + 1)$ を $- 1 (3 x + 1)$ に書き換えます。

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 1 (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.17

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 3 x} y = - \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.18

$- \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

ステップ 8.1.19

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

ステップ 8.2

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$e^{- 3 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x + 1) - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x) - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.2.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.3.1

$- 2 e^{- 3 x}$ から $e^{- 3 x}$ を引きます。

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.3.2

$- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{C + \frac{- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.4.1

$3 e^{- 3 x}$ を $- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.4.1.1

$3 e^{- 3 x}$ を $- 6 x e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.1.2

$3 e^{- 3 x}$ を $- 3 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.1.3

$3 e^{- 3 x}$ を $3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.4.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.2.2

$e^{- 3 x} (- 2 x - 1)$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.5

$- 1$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.4.6

$- 1 e^{- 3 x}$ を $- e^{- 3 x}$ に書き換えます。

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

ステップ 8.2.3.5

$C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{C - 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

微分積分 例

微分積分例