微分積分例

$(1 + y) d x + (1 - x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(1 + y) d x$ を引きます。

$(1 - x^{2}) d y = - (1 + y) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1 - x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

ステップ 3.3

$1 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

ステップ 3.3.2

$1 + y$ を $(1 - x^{2}) (1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} d x$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1^{2} - x^{2}} d x$

ステップ 3.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u_{1} = 1 + y$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = 1 + y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$1 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 4.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + y$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.3.2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{1 + x}$

ステップ 4.3.2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(1 + x) (1 - x)$ です。

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.4

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.1.2

$(A) (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.5.2

$(B) (1 + x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

ステップ 4.3.2.1.6.6

分配則を当てはめます。

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

ステップ 4.3.2.1.6.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A - A x + B + B x$

ステップ 4.3.2.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.7.1

$A$ を移動させます。

$1 = A - x A + B + B x$

ステップ 4.3.2.1.7.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$1 = A - x A + B + B x$

ステップ 4.3.2.1.7.3

$B$ を移動させます。

$1 = A - x A + B x + B$

ステップ 4.3.2.1.7.4

$A$ を移動させます。

$1 = - x A + B x + A + B$

ステップ 4.3.2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 4.3.2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 4.3.2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

ステップ 4.3.2.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 4.3.2.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 4.3.2.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.1

$0 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1

$- 1 (1 - B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.3

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

$B$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3

$0 = - 1 + 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.1

方程式を $- 1 + 2 B = 0$ として書き換えます。

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.3

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.3.1

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.4.2.1

$1 - (\frac{1}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.4.2.1.3

$2$ から $1$ を引きます。

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.4

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 + x}$ をかけます。

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 - x}$ をかけます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

ステップ 4.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.5

$u_{2} = 1 + x$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$u_{2} = 1 + x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 4.3.5.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.5.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.3.5.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.3.5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

ステップ 4.3.8

$u_{3} = 1 - x$ とします。次に $d u_{3} = - d x$ すると、 $- d u_{3} = d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

$u_{3} = 1 - x$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 4.3.8.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.3.8.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 4.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 4.3.10

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

ステップ 4.3.11

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

ステップ 4.3.12

簡約します。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

ステップ 4.3.13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

ステップ 4.3.13.2

$u_{3}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

ステップ 4.3.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.14.1

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

ステップ 4.3.14.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

ステップ 4.3.15

項を並べ替えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

ステップ 5.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.3

$\ln (| 1 + y |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.4

項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\ln (| 1 + y |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.5

$2$ を $\ln (| 1 + y |)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.6

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| 1 + y |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.6.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 1 + y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.6.1.1.3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2} \frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.6.1.1.4

${(1 + y)}^{2}$ と $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

ステップ 5.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

ステップ 5.6.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ を簡約します。

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 5.6.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.6.1.4.1

積の法則を $\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2} | 1 + x |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.4.2

積の法則を ${(1 + y)}^{2} | 1 + x |$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1.5.1

${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.6.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.5.2

簡約します。

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.6.1.6

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 5.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

ステップ 5.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.9

$y$ について解きます。

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ステップ 5.9.1

方程式を $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

ステップ 5.9.2

両辺に ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3

左辺を簡約します。

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ステップ 5.9.3.1

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.9.3.1.1

${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.9.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.1.2

式を書き換えます。

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y) = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.2

分配則を当てはめます。

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.9.3.1.3.1

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.3.2

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y$ の因数を並べ替えます。

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.3.3

$1$ と $x$ を並べ替えます。

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.3.4

$1$ と $x$ を並べ替えます。

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.3.1.3.5

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ と $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.4

$y$ について解きます。

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ステップ 5.9.4.1

方程式の両辺から ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.9.4.2

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ の各項を ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.9.4.2.1

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ の各項を ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.9.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.9.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.9.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.9.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.9.4.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例