微分積分例

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ を $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ の $1$ を $t$ に、 $4$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ として書き換えます。

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

ステップ 4.2.2

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} + K = 4$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{4}{3}$ を引きます。

$K = 4 - \frac{4}{3}$

ステップ 4.3.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 4.3.3

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$4$ に $3$ をかけます。

$K = \frac{12 - 4}{3}$

ステップ 4.3.5.2

$12$ から $4$ を引きます。

$K = \frac{8}{3}$

ステップ 5

$\frac{8}{3}$ を $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{8}{3}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

ステップ 5.2

$\frac{4}{3}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$

微分積分 例

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