微分積分例

$\sec (x) \frac{d y}{d x} = e^{y + \sin (x)}$

ステップ 1

$v = e^{y + \sin (x)}$ とします。 $v$ を $e^{y + \sin (x)}$ に代入します。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} = v$

ステップ 2

$e^{y + \sin (x)}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y + \sin (x)$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y + \sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

ステップ 2.2

総和則では、 $y + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} (y' + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{y + \sin (x)} (y' + \cos (x))$

ステップ 3

$v$ を $e^{y + \sin (x)}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = v (y' + \cos (x))$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$\frac{\sec (x) \frac{d v}{d x}}{v} - 1 = v$

ステップ 5

変数を分けます。

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ステップ 5.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

$\frac{\sec (x) \frac{d v}{d x}}{v} - 1$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} - 1 = v$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} = v + 1$

ステップ 5.1.3

両辺に $v$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} v = (v + 1) v$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{v} v = (v + 1) v$

ステップ 5.1.4.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = (v + 1) v$

ステップ 5.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1

$(v + 1) v$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v \cdot v + 1 v$

ステップ 5.1.4.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1.2.1

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + 1 v$

ステップ 5.1.4.2.1.2.2

$v$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + v$

ステップ 5.1.5

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + v$ の各項を $\sec (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.5.1

$\frac{d v}{d x} \sec (x) = v^{2} + v$ の各項を $\sec (x)$ で割ります。

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{v^{2}}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.2.1

$\sec (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x} \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{v^{2}}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.2.1.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.3.1.1

分数を分解します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.3.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.3.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} (1 \cos (x)) + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.3.1.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = \frac{v^{2}}{1} \cos (x) + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.3.1.5

$v^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.3.1.6

分数を分解します。

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

ステップ 5.1.5.3.1.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

ステップ 5.1.5.3.1.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} (1 \cos (x))$

ステップ 5.1.5.3.1.9

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + \frac{v}{1} \cos (x)$

ステップ 5.1.5.3.1.10

$v$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = v^{2} \cos (x) + v \cos (x)$

ステップ 5.2

$v \cos (x)$ を $v^{2} \cos (x) + v \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$v \cos (x)$ を $v^{2} \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = v \cos (x) (v) + v \cos (x)$

ステップ 5.2.2

$v \cos (x)$ を $v \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = v \cos (x) (v) + v \cos (x) (1)$

ステップ 5.2.3

$v \cos (x)$ を $v \cos (x) (v) + v \cos (x) (1)$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = v \cos (x) (v + 1)$

ステップ 5.3

両辺に $\frac{1}{v (v + 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (v \cos (x) (v + 1))$

ステップ 5.4

$v (v + 1)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$v (v + 1)$ を $v \cos (x) (v + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (v (v + 1) (\cos (x)))$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (v (v + 1) \cos (x))$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \cos (x)$

ステップ 5.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v (v + 1)} d v = \cos (x) d x$

ステップ 6

両辺を積分します。

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ステップ 6.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v (v + 1)} d v = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 6.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 6.2.1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $v (v + 1)$ です。

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.3

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.4

$v + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5.1.2

$A (v + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5.4

$v + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.1.5.4.2

$B v$ を $1$ で割ります。

$1 = A v + A + B v$

ステップ 6.2.1.1.6

$A$ を移動させます。

$1 = A v + B v + A$

ステップ 6.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 6.2.1.2.1

式の両辺から $v$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.2.2

式の両辺から $v$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 6.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

ステップ 6.2.1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1.3.1

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 6.2.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 6.2.1.3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = (1) + B$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.3

$0 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 6.2.1.3.3.1

方程式を $1 + B = 0$ として書き換えます。

$1 + B = 0$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

ステップ 6.2.1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = - 1 A = 1$

ステップ 6.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = - 1, A = 1$

ステップ 6.2.1.4

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

ステップ 6.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.2.4

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{v + 1} d v = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.2.5

$u_{2} = v + 1$ とします。次に $d u_{2} = d v$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.5.1

$u_{2} = v + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d v}$ を求めます。

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ステップ 6.2.5.1.1

$v + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 6.2.5.1.2

総和則では、 $v + 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ です。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 6.2.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

ステップ 6.2.5.1.4

$1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.2.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.2.7

簡約します。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

ステップ 6.3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

ステップ 6.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \sin (x) + C$

ステップ 7

$v$ について解きます。

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ステップ 7.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = \sin (x) + C$

ステップ 7.2

$\sin (x)$ と $C$ を並べ替えます。

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + \sin (x)$

ステップ 7.3

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + \sin (x)}$

ステップ 7.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + \sin (x)$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C + \sin (x)} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

ステップ 7.5

$v$ について解きます。

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ステップ 7.5.1

方程式を $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + \sin (x)}$ として書き換えます。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + \sin (x)}$

ステップ 7.5.2

両辺に $| u_{2} |$ を掛けます。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$

ステップ 7.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 7.5.3.1

$| u_{2} |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$

ステップ 7.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| v | = e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$

ステップ 7.5.4

$v$ について解きます。

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ステップ 7.5.4.1

$e^{C + \sin (x)} | u_{2} |$ の因数を並べ替えます。

$| v | = | u_{2} | e^{C + \sin (x)}$

ステップ 7.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$v = \pm | u_{2} | e^{C + \sin (x)}$

ステップ 8

定数項をまとめます。

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ステップ 8.1

項を並べ替えます。

$v = \pm | u_{2} | e^{\sin (x) + C}$

ステップ 8.2

$e^{\sin (x) + C}$ を $e^{\sin (x)} e^{C}$ に書き換えます。

$v = \pm | u_{2} | (e^{\sin (x)} e^{C})$

ステップ 8.3

$e^{\sin (x)}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{\sin (x)})$

ステップ 8.4

定数を正または負でまとめます。

$v = C | u_{2} | e^{\sin (x)}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $e^{y + \sin (x)}$ で置き換えます。

$e^{y + \sin (x)} = C | u_{2} | e^{\sin (x)}$

ステップ 10

$y$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y + \sin (x)}) = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

ステップ 10.2

左辺を展開します。

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ステップ 10.2.1

$y + \sin (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y + \sin (x)})$ を展開します。

$(y + \sin (x)) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

ステップ 10.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y + \sin (x)) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

ステップ 10.2.3

$y + \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$y + \sin (x) = \ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$

ステップ 10.3

右辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$\ln (C | u_{2} | e^{\sin (x)})$ を $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{\sin (x)})$ に書き換えます。

$y + \sin (x) = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{\sin (x)})$

ステップ 10.3.2

$\ln (C | u_{2} |)$ を $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ に書き換えます。

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{\sin (x)})$

ステップ 10.3.3

$\sin (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{\sin (x)})$ を展開します。

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \sin (x) \ln (e)$

ステップ 10.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \sin (x) \cdot 1$

ステップ 10.3.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$y + \sin (x) = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \sin (x)$

ステップ 10.4

右辺を簡約します。

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ステップ 10.4.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$y + \sin (x) = \ln (C | u_{2} |) + \sin (x)$

ステップ 10.5

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.5.1

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$y = \ln (C | u_{2} |) + \sin (x) - \sin (x)$

ステップ 10.5.2

$\ln (C | u_{2} |) + \sin (x) - \sin (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.5.2.1

$\sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

ステップ 10.5.2.2

$\ln (C | u_{2} |)$ と $0$ をたし算します。

$y = \ln (C | u_{2} |)$

微分積分 例

微分積分例