微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y \cos (x)$ , $y (0) = 17$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $y \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \cos (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \sin (x) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\sin (x) + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \sin (x) + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\sin (x) + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{\sin (x) + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\sin (x) + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\sin (x) + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\sin (x) + C}$ を $e^{\sin (x)} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\sin (x)} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{\sin (x)}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\sin (x)}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\sin (x)}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{\sin (x)}$ の $0$ を $x$ に、 $17$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$17 = C e^{\sin (0)}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{\sin (0)} = 17$ として書き換えます。

$C e^{\sin (0)} = 17$

ステップ 6.2

$C e^{\sin (0)} = 17$ の各項を $e^{\sin (0)}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$C e^{\sin (0)} = 17$ の各項を $e^{\sin (0)}$ で割ります。

$\frac{C e^{\sin (0)}}{e^{\sin (0)}} = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$e^{\sin (0)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{C e^{\sin (0)}}{e^{\sin (0)}} = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

ステップ 6.2.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$C = \frac{17}{e^{0}}$

ステップ 6.2.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C = \frac{17}{1}$

ステップ 6.2.3.2

$17$ を $1$ で割ります。

$C = 17$

ステップ 7

$17$ を $y = C e^{\sin (x)}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$17$ を $C$ に代入します。

$y = 17 e^{\sin (x)}$

微分積分 例

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