微分積分例

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ の各項を $N$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ の各項を $N$ で割ります。

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$N$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d N}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$N$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

ステップ 1.1.3.1.2

$t e^{t + 2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d N = t e^{t + 2} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = t$ と $d v = e^{t + 2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

ステップ 2.3.2

$u = t + 2$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = t + 2$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$t + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $t + 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

ステップ 2.3.2.1.4

$2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $t + 2$ で置き換えます。

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$

微分積分 例

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