微分積分例

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (y) = y$ および $g (y) = \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.3.2

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.3.4

$y$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.3.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.3.6

$\ln (y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 x y e^{y}$ の微分係数は $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

ステップ 1.4.2

$f (y) = y$ および $g (y) = e^{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 1.4.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 1.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

ステップ 1.4.5

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

ステップ 1.5.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

ステップ 2

$N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 - x y e^{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $1 - x y e^{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$- y e^{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y e^{y}$ の微分係数は $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

ステップ 2.3.8

$1 - x y e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

ステップ 2.4

$x (- y e^{y})$ から $x y e^{y}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

ステップ 2.4.2

$- 1 \cdot x y e^{y}$ から $x y e^{y}$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x y e^{y} + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2 x y e^{y} + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

ステップ 4.3

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.3

括弧を削除します。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.4

$- 2 x y e^{y}$ と $2 e^{y} x y$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$e^{y}$ を移動させます。

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.4.2

$- 2 x y e^{y}$ と $2 x y e^{y}$ をたし算します。

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.6

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.2.7

$2 e^{y} x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$y$ を $y \ln (y)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

ステップ 4.3.3.2

$y$ を $- 2 x y e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

ステップ 4.3.3.3

$y$ を $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

ステップ 4.3.4

$2 e^{y} x - \ln (y)$ と $\ln (y) - 2 x e^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $2 e^{y} x$ で因数分解します。

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を $- \ln (y)$ で因数分解します。

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ で因数分解します。

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

ステップ 4.3.4.4

$- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ を $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

ステップ 4.3.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

ステップ 4.3.4.6

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

ステップ 4.3.4.7

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{y}$

ステップ 4.3.5

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ を $M$ に代入します。

$- \frac{1}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

ステップ 5.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

ステップ 6

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.2

$y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ を $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y$ を $y \ln (y)$ で因数分解します。

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y$ を $- 2 x y e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y$ を $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ で因数分解します。

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.4.2

$\ln (y) - 2 x e^{y}$ を $1$ で割ります。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.5

$x (1 - x y e^{y})$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.6

分配則を当てはめます。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.7

$x$ に $1$ をかけます。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.9

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$x$ を移動させます。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.9.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 6.10

$x - x^{2} y e^{y}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.11

$x$ を $x - x^{2} y e^{y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.11.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

ステップ 6.11.3

$x$ を $- x^{2} y e^{y}$ で因数分解します。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

ステップ 6.11.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ で因数分解します。

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

ステップ 8.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

ステップ 8.3

$- 2 e^{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2 e^{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.5

簡約します。

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

ステップ 8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

ステップ 8.6.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\ln (y) x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ です。

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.3.2

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.3.3

$x$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$- x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- e^{y} x^{2}$ の微分係数は $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 11.6.2

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

ステップ 12.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

ステップ 12.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

ステップ 12.1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

ステップ 12.1.3.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

ステップ 12.1.3.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

ステップ 12.1.3.4

$- x^{2} (- y e^{y})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

ステップ 12.1.3.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

ステップ 12.1.4

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

ステップ 12.1.5

$0$ と $x^{2} y e^{y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

ステップ 12.1.6

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

ステップ 12.1.6.2

$x^{2} e^{y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

ステップ 12.1.7

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.7.1

$- x^{2} e^{y}$ と $x^{2} e^{y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

ステップ 12.1.7.2

$\frac{d g}{d y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 13.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$

微分積分 例

微分積分例