微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- \frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $3 x^{\frac{1}{3}}$ です。

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ を $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ の $- 1$ を $x$ に、 $- 5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ として書き換えます。

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

ステップ 4.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

ステップ 4.2.4

指数を求めます。

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

ステップ 4.2.5

$9$ に $- 1$ をかけます。

$- 9 + K = - 5$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$K = - 5 + 9$

ステップ 4.3.2

$- 5$ と $9$ をたし算します。

$K = 4$

ステップ 5

$4$ を $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ を $K$ に代入します。

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$

微分積分 例

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