微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (y - 3)$ , $y (0) = 6$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y - 3}$ を掛けます。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (x^{3} (y - 3))$

ステップ 1.2

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y - 3$ を $x^{3} (y - 3)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 3} d y = x^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int x^{3} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y - 3$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y - 3$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y - 3$ で置き換えます。

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y - 3 |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ として書き換えます。

$| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$| y - 3 | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y - 3 = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C} + 3$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ を $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C} + 3$

ステップ 4.2

$e^{\frac{x^{4}}{4}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ の $0$ を $x$ に、 $6$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$6 = C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$ として書き換えます。

$C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$C e^{\frac{0}{4}} + 3 = 6$

ステップ 6.2.2

$0$ を $4$ で割ります。

$C e^{0} + 3 = 6$

ステップ 6.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C \cdot 1 + 3 = 6$

ステップ 6.2.4

$C$ に $1$ をかけます。

$C + 3 = 6$

ステップ 6.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$C = 6 - 3$

ステップ 6.3.2

$6$ から $3$ を引きます。

$C = 3$

ステップ 7

$3$ を $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ を $C$ に代入します。

$y = 3 e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

微分積分 例

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