微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x = y$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} + x - y = 0$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - y = - x$

ステップ 2

$P (x) = - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- x}$ を掛けます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x)$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x$

ステップ 3.4

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x e^{- x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x e^{- x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x e^{- x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = - \int x e^{- x} d x$

ステップ 7.2

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

ステップ 7.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

ステップ 7.4.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

ステップ 7.5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 7.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 7.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

ステップ 7.8

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ を $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

ステップ 7.9

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

ステップ 7.10

簡約します。

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ステップ 7.10.1

分配則を当てはめます。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

ステップ 7.10.2

$- (- x e^{- x})$ を掛けます。

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ステップ 7.10.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

ステップ 7.10.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} y = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

ステップ 7.10.3

$- - e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 7.10.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

ステップ 7.10.3.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$

ステップ 8

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割ります。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$y = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

微分積分 例

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