微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

ステップ 2.4

$e^{r x}$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

ステップ 2.4.2

$e^{r x}$ を $4 e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

ステップ 2.4.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

ステップ 2.5

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$1$ から $4$ を引きます。

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

ステップ 3.4

$r$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

ステップ 3.4.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。