微分積分例

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

書き換えます。

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = x y^{2} - y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x y^{2} - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.3.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

ステップ 3

$N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

ステップ 3.2

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x$ を $3 x^{2} y - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$x$ を $3 x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

ステップ 3.2.1.3

$x$ を $x (3 x y) + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

ステップ 3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = 3 x y - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和則では、 $3 x y - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.2

$3 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$3 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.6.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

ステップ 3.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$3 x y - 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

ステップ 3.4.8.2

$3 x y$ と $3 x y$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$6$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.2

$x$ と $\frac{6}{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.3

$\frac{x \cdot 6}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.4

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.5

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

$2$ を $6 x y$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.5.2.4

$3 x y$ を $1$ で割ります。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

ステップ 3.5.2.6

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.5.2.7

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.7.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

ステップ 3.5.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

ステップ 3.5.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

ステップ 3.5.2.7.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 x y - 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 x y - 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$3 x y - 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$2 x y - 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

ステップ 5.3

$x y^{2} - y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x y^{2} - y$ を $M$ に代入します。

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

ステップ 5.3.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

ステップ 5.3.2.4

$3 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

ステップ 5.3.2.5

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

ステップ 5.3.2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

ステップ 5.3.3

$y$ を $x y^{2} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

ステップ 5.3.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

ステップ 5.3.3.3

$y$ を $y (x y) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

ステップ 5.3.4

$x y^{2} - y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

ステップ 6.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

ステップ 6.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | y | + C$

ステップ 7

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ の両辺に積分因子 $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x y^{2} - y$ に $y$ をかけます。

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.3

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$y$ を移動させます。

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.3.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$y$ を移動させます。

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

ステップ 7.5

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ に $y$ をかけます。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

ステップ 7.6

$x$ を $3 x^{2} y - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$x$ を $3 x^{2} y$ で因数分解します。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

ステップ 7.6.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

ステップ 7.6.3

$x$ を $x (3 x y) + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

ステップ 7.7

$\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ と $y$ をまとめます。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

ステップ 7.8

$\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ の因数を並べ替えます。

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{x}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{x}{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

ステップ 9.2

$y (3 x y - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

ステップ 9.2.2

括弧を移動させます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

ステップ 9.2.3

括弧を削除します。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

ステップ 9.2.4

$y$ と $3$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

ステップ 9.2.5

$y$ と $- 4$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

ステップ 9.3.2

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

ステップ 9.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

ステップ 9.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

ステップ 9.4

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

ステップ 9.5

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $3 x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

ステップ 9.6

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

ステップ 9.7

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

ステップ 9.8

$- 4$ は $y$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

ステップ 9.9

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

ステップ 9.10

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

ステップ 9.11

簡約します。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

ステップ 9.12

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.2

総和則では、 $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.2

$f (x) = \frac{x}{2}$ および $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.3

総和則では、 $x y^{3} - 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ です。

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.4

$y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y^{3}$ の微分係数は $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.6

$- 2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.9

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.10

$y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.11

$\frac{x}{2}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.12

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.13

$(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.14

$(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.16

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.17

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.17.2

式を書き換えます。

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.18

$x y^{3} - 2 y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.3.19

$x y^{3}$ と $x y^{3}$ をたし算します。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1.1

$\frac{d g}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.2

$\frac{d g}{d x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.4

$2$ を $\frac{d g}{d x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5

$2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1.5.1

$2$ を $2 x y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.2

$2$ を $- 2 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.3

$2$ を $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.4

$2$ を $2 \frac{d g}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.5

$2$ を $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1.5.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.6.3

式を書き換えます。

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.1.5.6.4

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ を $1$ で割ります。

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 12.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

方程式の両辺に $y^{2}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

ステップ 13.1.2

方程式の両辺から $y^{3} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

ステップ 13.1.3

$x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

$- y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

ステップ 13.1.3.2

$x y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

ステップ 13.1.3.3

$x y^{3}$ と $- y^{3} x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

ステップ 13.1.3.4

$y^{3} x$ から $y^{3} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 14

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 14.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 14.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

ステップ 16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.3

$\frac{x}{2} (x y^{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$x$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.3.6

$\frac{x^{2}}{2}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

ステップ 16.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

ステップ 16.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

ステップ 16.5.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

ステップ 16.5.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例