微分積分例

$3 x^{2} y d x + (y + x^{3}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 x^{2} y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$

ステップ 1.2

$3 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x^{2} y$ の微分係数は $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

ステップ 1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

ステップ 2

$N (x, y) = y + x^{3}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x^{3}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $y + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 x^{2}$

ステップ 2.5

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$3 x^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 x^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 3 x^{2} y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$3 y$ は $x$ に対して定数なので、 $3 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 5.3

答えを簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ を $3 y \frac{1}{3} x^{3} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = 3 y \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2

簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = y \frac{3}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.2

$y$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y \cdot 3}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.3

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.4

$3$ に $y$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{3 y}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.5.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{3 y}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.5.2

$y$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = y x^{3} + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y x^{3} + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x^{3}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + g (y)] = y + x^{3}$

ステップ 8.2

総和則では、 $y x^{3} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x^{3}$ の微分係数は $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

ステップ 8.3.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = y + x^{3}$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = y + x^{3}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y + x^{3} - x^{3}$

ステップ 9.1.2

$y + x^{3} - x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

ステップ 9.1.2.2

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = y$

ステップ 10

$y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y d y$

ステップ 10.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = y x^{3} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} + C$

微分積分 例

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