微分積分例

$(2 x y + y^{3} \cos (x)) d x + (x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3} \cos (x)]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y + y^{3} \cos (x)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\cos (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{3} \cos (x)$ の微分係数は $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) (3 y^{2})$

ステップ 1.4.3

$3$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \cos (x) y^{2}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3 y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{2} \sin (x)$ の微分係数は $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cos (x)$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} \sin (x) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

ステップ 5.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

ステップ 5.3

$3 \sin (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $3 \sin (x)$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) \int y^{2} d y$

ステップ 5.4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

ステップ 5.5

簡約します。

$f (x, y) = x^{2} y + 3 \sin (x) \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3}{3} \sin (x) y^{3} + C$

ステップ 5.6.2

$\frac{3}{3}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

ステップ 5.6.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

ステップ 5.6.3.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.2

総和則では、 $x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.3.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.4

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\sin (x) y^{3}$ の微分係数は $y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 y x + y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 8.6

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺から $y^{3} \cos (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$

ステップ 9.1.3

$2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) + 0 - y^{3} \cos (x)$

ステップ 9.1.3.2

$y^{3} \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) - y^{3} \cos (x)$

ステップ 9.1.3.3

$y^{3} \cos (x)$ から $y^{3} \cos (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 10.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} \sin (x) + C$

微分積分 例

微分積分例