微分積分例

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ の各項を $1 + \cos (2 x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ の各項を $1 + \cos (2 x)$ で割ります。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$1 + \cos (2 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $1 + \cos (u_{1})$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.3

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

ステップ 2.3.6

2倍角の公式を利用して $\cos (x)$ を $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.7

ピタゴラスの定理を利用し $1$ を $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ に変換します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ から ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ を引きます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

ステップ 2.3.8.2

${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ と ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

ステップ 2.3.8.3

$2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.9

独立変数に $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$ を掛ける

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.10

まとめる。

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.11

${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.12

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{u}{2})$ を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 2.3.13

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ に当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

ステップ 2.3.14

1のすべての数の累乗は1です。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

ステップ 2.3.15

$2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.15.1

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.15.2

$\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ と $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

ステップ 2.3.16

分子に分母の逆数を掛けます。

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.17

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{u}{2})$ を書き換えます。

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.18

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ に当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.19

まとめる。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

ステップ 2.3.20

$\cos^{2} (\frac{u}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.20.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

ステップ 2.3.20.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.21

1のすべての数の累乗は1です。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.22

$1$ を掛けます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

ステップ 2.3.23

分数を分解します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

ステップ 2.3.24

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ を $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ に変換します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

ステップ 2.3.25

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.25.1

$2$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

ステップ 2.3.25.2

$\frac{1}{2}$ と $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.26

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

ステップ 2.3.27

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.27.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.27.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

ステップ 2.3.27.1.2

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 2.3.27.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.27.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 2.3.27.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.28

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.28.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

ステップ 2.3.28.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

ステップ 2.3.28.3

$2$ を $\sec^{2} (u_{2})$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.29

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 2.3.30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.30.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.30.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.30.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.30.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.30.3

$\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.31

$\tan (u_{2})$ の微分係数が $\sec^{2} (u_{2})$ なので、 $\sec^{2} (u_{2})$ の積分は $\tan (u_{2})$ です。

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.32

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 2.3.32.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.32.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.33

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.33.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x}{2}$ を約分します。

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ステップ 2.3.33.1.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.33.1.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

ステップ 2.3.33.2

$x$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \tan (x) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \tan (x) + K$ の $\frac{π}{4}$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ として書き換えます。

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$1 + K = 1$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 1 - 1$

ステップ 4.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$K = 0$

ステップ 5

$0$ を $y = \tan (x) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ を $K$ に代入します。

$y = \tan (x) + 0$

ステップ 5.2

$\tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$y = \tan (x)$

微分積分 例

微分積分例