微分積分例

$(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y^{2} + 3 x y^{3}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x y^{3}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $y^{2} + 3 x y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x y^{3}$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x (3 y^{2})$

ステップ 1.3.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 9 x y^{2}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 y^{2} x + 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = 1 - x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x y]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $1 - x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y$

ステップ 2.4

$0$ から $y$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$9 y^{2} x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$9 y^{2} x + 2 y = - y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$9 y^{2} x + 2 y = - y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$9 y^{2} x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{M}$

ステップ 4.3

$y^{2} + 3 x y^{3}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y^{2} + 3 x y^{3}$ を $M$ に代入します。

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- y - (9 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.2.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.2.4

$- y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{- 9 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.2.5

$3 y$ を $- 9 y^{2} x - 3 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$3 y$ を $- 9 y^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{3 y (- 3 y x) - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.2.5.2

$3 y$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$\frac{3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.2.5.3

$3 y$ を $3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.3

$y^{2}$ を $y^{2} + 3 x y^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}$

ステップ 4.3.3.2

$y^{2}$ を $3 x y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}$

ステップ 4.3.3.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ で因数分解します。

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

ステップ 4.3.4

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$y$ を $3 y (- 3 y x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$y$ を $y^{2} (1 + 3 x y)$ で因数分解します。

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (- 3 y x - 1)}{y (1 + 3 x y)}$

ステップ 4.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 (- 3 x y - 1)}{y (3 x y + 1)}$

ステップ 4.3.6

$- 3 x y - 1$ と $3 x y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$- 1$ を $- 3 x y$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (3 x y) - 1)}{y (3 x y + 1)}$

ステップ 4.3.6.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (3 x y) - 1 (1))}{y (3 x y + 1)}$

ステップ 4.3.6.3

$- 1$ を $- (3 x y) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

ステップ 4.3.6.4

$- (3 x y + 1)$ を $- 1 (3 x y + 1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

ステップ 4.3.6.5

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

ステップ 4.3.6.6

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

ステップ 4.3.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3}{y}$

ステップ 4.3.8

$y^{2} + 3 x y^{3}$ を $M$ に代入します。

$- \frac{3}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

ステップ 6

$(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y^{2} + 3 x y^{3}$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$(y^{2} + 3 x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.2

$y^{2} + 3 x y^{3}$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{y^{2} + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.3

$y^{2}$ を $y^{2} + 3 x y^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y^{2}$ を $3 x y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$y^{2}$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) d y = 0$

ステップ 6.5

$1 - x y$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6

$1 - x y$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + \frac{1 - x y}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{1 + 3 x y}{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{1 + 3 x y}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数を複数の分数に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{3 x y}{y} d x$

ステップ 8.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

ステップ 8.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

ステップ 8.3.2

$3 x$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int 3 x d x$

ステップ 8.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int 3 x d x$

ステップ 8.5

$\frac{1}{y}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int 3 x d x$

ステップ 8.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 \int x d x$

ステップ 8.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.8

簡約します。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 8.9

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.4

$\frac{3}{2} x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.2.1

$x$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.6.2.2

$- \frac{x}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 11.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{1 - x y}{y^{3}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

$\frac{d g}{d y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ を掛けます。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - (1 - x y)}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 \cdot 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.3

$- (- x y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 1 (x y)}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$- \frac{x}{y^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$- \frac{x}{y^{2}} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y^{3}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.1

$\frac{x}{y^{2}}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$- \frac{x y}{y^{2} y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.2.1

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x y}{y^{2} y^{1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x y}{y^{2 + 1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{x y}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x y + \frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.8.1

$- x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 0}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.8.2

$\frac{d g}{d y} y^{3} - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.2

分子を0に等しくします。

$\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 = 0$

ステップ 12.1.3

$\frac{d g}{d y}$ について方程式を解きます。

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ステップ 12.1.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$

ステップ 12.1.3.2

$\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ の各項を $y^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.1.3.2.1

$\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ の各項を $y^{3}$ で割ります。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

ステップ 12.1.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 12.1.3.2.2.1

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

ステップ 12.1.3.2.2.1.2

$\frac{d g}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$

ステップ 13

$\frac{1}{y^{3}}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

ステップ 13.3

$y^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (y) = \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

ステップ 13.4

${(y^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 13.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (y) = \int y^{3 \cdot - 1} d y$

ステップ 13.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = \int y^{- 3} d y$

ステップ 13.5

べき乗則では、 $y^{- 3}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ です。

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{- 2} + C$

ステップ 13.6

答えを簡約します。

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ステップ 13.6.1

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$ に書き換えます。

$g (y) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 13.6.2

簡約します。

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ステップ 13.6.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (y) = - \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C$

ステップ 13.6.2.2

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$g (y) = - \frac{1}{2 \cdot y^{2}} + C$

ステップ 13.6.2.3

$2$ に $y^{2}$ をかけます。

$g (y) = - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

ステップ 15

$\frac{3}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例