微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x + 49}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \sqrt{x + 49} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sqrt{x + 49} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sqrt{x + 49} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = x + 49$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = x + 49$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$x + 49$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 49]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x + 49$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [49]$

ステップ 2.3.1.1.4

$49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4

$u$ のすべての発生を $x + 49$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} {(x + 49)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{3} {(x + 49)}^{\frac{3}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例