微分積分例

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x y d x$ を引きます。

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $\sqrt{1 + x^{2}} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

ステップ 3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

ステップ 3.3.2

$y$ を $\sqrt{1 + x^{2}} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

ステップ 3.3.3

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

ステップ 3.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

ステップ 3.3.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

ステップ 3.4

$\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 3.6

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

ステップ 3.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.7.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 3.7.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 3.7.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

ステップ 3.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

ステップ 3.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

ステップ 3.7.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

ステップ 3.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

ステップ 3.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

ステップ 3.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

ステップ 3.7.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

ステップ 3.7.6.5

簡約します。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 4.3.2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4.3.3

簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

ステップ 4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

ステップ 4.3.5.2

簡約します。

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ステップ 4.3.5.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.5.2.2

指数を足して $u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.5.2.2.1

$u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.5.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.5.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.5.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.5.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.5.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.5.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3.5.3.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.5.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.3.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 4.3.7

簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.7.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.7.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.7.2.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.8

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 5.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

ステップ 5.3

$y$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式を $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 5.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

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ステップ 6.1

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ を $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

ステップ 6.2

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例