微分積分例

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 3

$N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x + \frac{2}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

ステップ 3.4

$\frac{2}{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{2}{y}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

ステップ 3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = 1$

ステップ 4.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$1 = 1$ は恒等式です。

ステップ 5

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y d x$

ステップ 6

$M (x, y) = y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 6.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y x + C$

ステップ 7

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y x + g (y)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

ステップ 9

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 9.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

ステップ 9.2

総和則では、 $y x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

ステップ 9.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ の値を求めます。

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ステップ 9.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

ステップ 9.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

ステップ 9.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

ステップ 9.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

ステップ 9.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

ステップ 10

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

ステップ 10.1.2

$x + \frac{2}{y} - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.1.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

ステップ 10.1.2.2

$\frac{2}{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

ステップ 11

$\frac{2}{y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

ステップ 11.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

ステップ 11.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 11.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 11.5

簡約します。

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

ステップ 12

$f (x, y) = y x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

ステップ 13

各項を簡約します。

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ステップ 13.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

ステップ 13.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$

微分積分 例

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