微分積分例

$(x + y \cos (x)) d x + (\sin (x)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x + y \cos (x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y \cos (x)]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x + y \cos (x)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\cos (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y \cos (x)$ の微分係数は $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x)$

ステップ 1.4

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

ステップ 2

$N (x, y) = \sin (x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$\cos (x)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\cos (x)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\cos (x) = \cos (x)$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (x) = \cos (x)$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \sin (x) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = \sin (x)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \sin (x) y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y \cos (x)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + g (x)] = x + y \cos (x)$

ステップ 8.2

総和則では、 $\sin (x) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\sin (x) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

ステップ 8.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = x + y \cos (x)$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = x + y \cos (x)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $y \cos (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + y \cos (x) - y \cos (x)$

ステップ 9.1.2

$x + y \cos (x) - y \cos (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$y \cos (x)$ から $y \cos (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x$

ステップ 10

$x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x d x$

ステップ 10.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 12.2

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y \sin (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

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