微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\cos (y) + e^{y}$ を掛けます。

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

ステップ 1.2

$\cos (y) + e^{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{2} - 2 x + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2.2

$\cos (y)$ の $y$ に関する積分は $\sin (y)$ です。

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2.3

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2.5

項を並べ替えます。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

ステップ 2.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

ステップ 2.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

ステップ 2.3.7.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 2 x^{3} - x^{2} + x + C_{7}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} + \sin (y) = 2 x^{3} - x^{2} + x + K$

微分積分 例

微分積分例