微分積分例

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x (t^{2} - 1) d t$ を引きます。

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ を掛けます。

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$t^{3} - 3 t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$t^{3} - 3 t$ を $(t^{3} - 3 t) x$ で因数分解します。

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3.3.2

$x$ を $(t^{3} - 3 t) x$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

ステップ 3.4

$t$ を $t^{3} - 3 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$t$ を $t^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

ステップ 3.4.2

$t$ を $- 3 t$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

ステップ 3.4.3

$t$ を $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

ステップ 3.7

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

ステップ 3.7.2

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

ステップ 3.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

ステップ 3.7.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

ステップ 3.8

$\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

ステップ 3.9

$- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

ステップ 3.9.2

$\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

ステップ 3.11

$- \frac{t}{t^{2} - 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t}{t}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

ステップ 3.12

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(t^{2} - 3) t$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$\frac{t}{t^{2} - 3}$ に $\frac{t}{t}$ をかけます。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

ステップ 3.12.2

$(t^{2} - 3) t$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

ステップ 3.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 3.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 3.14.2

$t \cdot t$ を $t^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 3.14.3

$- t^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 3.14.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = t$ です。

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $t (t^{2} - 3)$ です。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.3.1

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.3.2

$t^{2} - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.3.2.2

$(1 + t) (1 - t)$ を $1$ で割ります。

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + t) (1 - t)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.5.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5.1.2

$- t$ に $1$ をかけます。

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5.1.3

$t$ に $1$ をかけます。

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5.1.5

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.5.1.5.1

$t$ を移動させます。

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5.1.5.2

$t$ に $t$ をかけます。

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5.2

$- t$ と $t$ をたし算します。

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.5.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.6

$1$ と $- t^{2}$ を並べ替えます。

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.7.1

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.7.1.2

$A (t^{2} - 3)$ を $1$ で割ります。

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.7.3

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.7.4

$t^{2} - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.1.7.4.2

$(B t + C) (t)$ を $1$ で割ります。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

ステップ 4.3.1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

ステップ 4.3.1.1.7.6

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1.7.6.1

$t$ を移動させます。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

ステップ 4.3.1.1.7.6.2

$t$ に $t$ をかけます。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

ステップ 4.3.1.1.8

$- 3 A$ を移動させます。

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

ステップ 4.3.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

式の両辺から $t^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = A + B$

ステップ 4.3.1.2.2

式の両辺から $t$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 4.3.1.2.3

式の両辺から $t$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 3 A$

ステップ 4.3.1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

ステップ 4.3.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

ステップ 4.3.1.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.2.1

方程式を $- 3 A = 1$ として書き換えます。

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

ステップ 4.3.1.3.2.2

$- 3 A = 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.2.2.1

$- 3 A = 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

ステップ 4.3.1.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

ステップ 4.3.1.3.2.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

ステップ 4.3.1.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

ステップ 4.3.1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.3.1

$- 1 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{3}$ で置き換えます。

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.3.2.1

括弧を削除します。

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.4.1

方程式を $- \frac{1}{3} + B = - 1$ として書き換えます。

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.4.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{3}$ を足します。

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.4.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4.2.5.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.3.1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

ステップ 4.3.1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

ステップ 4.3.1.4

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.5.2.1

$t$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.5.2.2

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.5.2.3

$- \frac{2 t}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

ステップ 4.3.1.5.4

$\frac{1}{t^{2} - 3}$ に $\frac{2 t}{3}$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

ステップ 4.3.1.5.5

$3$ を $t^{2} - 3$ の左に移動させます。

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

ステップ 4.3.1.5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

ステップ 4.3.1.5.7

$\frac{1}{t}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

ステップ 4.3.1.5.8

$3$ を $t$ の左に移動させます。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.3.6

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

ステップ 4.3.7

$\frac{2}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

ステップ 4.3.8

$u = t^{2} - 3$ とします。次に $d u = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

$u = t^{2} - 3$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1.1

$t^{2} - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

ステップ 4.3.8.1.2

総和則では、 $t^{2} - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 4.3.8.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 4.3.8.1.4

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 t + 0$

ステップ 4.3.8.1.5

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 4.3.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 4.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.3.9.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 4.3.10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 4.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.11.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.11.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.11.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.11.3.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.11.3.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.12

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

ステップ 4.3.13

簡約します。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

ステップ 4.3.14

$u$ のすべての発生を $t^{2} - 3$ で置き換えます。

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

ステップ 5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$\ln (| t |)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

ステップ 5.1.1.2

$\ln (| t^{2} - 3 |)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

ステップ 5.2

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ の各項に $3$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ の各項に $3$ を掛けます。

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3$ を $\ln (| x |)$ の左に移動させます。

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$- \frac{\ln (| t |)}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

ステップ 5.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

ステップ 5.2.3.1.1.3

式を書き換えます。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

ステップ 5.2.3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

ステップ 5.2.3.1.3

$3$ を $C$ の左に移動させます。

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

ステップ 5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

ステップ 5.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

ステップ 5.5

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

ステップ 5.6

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

ステップ 5.7

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

ステップ 5.8

分配則を当てはめます。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

ステップ 5.9

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

ステップ 5.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

ステップ 5.9.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

ステップ 5.10

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

ステップ 5.11

対数の定義を利用して $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

ステップ 5.12

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.1

方程式を ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ として書き換えます。

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

ステップ 5.12.2

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ の各項を $| t^{3} - 3 t |$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.1

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ の各項を $| t^{3} - 3 t |$ で割ります。

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

ステップ 5.12.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.2.1

$| t^{3} - 3 t |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

ステップ 5.12.2.2.1.2

${| x |}^{3}$ を $1$ で割ります。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

ステップ 5.12.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.3.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.3.1.1

$t$ を $t^{3} - 3 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.3.1.1.1

$t$ を $t^{3}$ で因数分解します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

ステップ 5.12.2.3.1.1.2

$t$ を $- 3 t$ で因数分解します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

ステップ 5.12.2.3.1.1.3

$t$ を $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ で因数分解します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.2.3.1.2

分配則を当てはめます。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

ステップ 5.12.2.3.1.3

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.3.1.3.1

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.3.1.3.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

ステップ 5.12.2.3.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

ステップ 5.12.2.3.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

ステップ 5.12.2.3.1.4

$- 3$ を $t$ の左に移動させます。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

ステップ 5.12.2.3.1.5

$t$ を $t^{3} - 3 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.2.3.1.5.1

$t$ を $t^{3}$ で因数分解します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

ステップ 5.12.2.3.1.5.2

$t$ を $- 3 t$ で因数分解します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

ステップ 5.12.2.3.1.5.3

$t$ を $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ で因数分解します。

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

ステップ 5.12.4

$\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.4.1

$\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ を $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ に書き換えます。

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

ステップ 5.12.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.4.2.1

$e^{3 C}$ を ${(e^{C})}^{3}$ に書き換えます。

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

ステップ 5.12.4.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

ステップ 5.12.4.3

$\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ をかけます。

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

ステップ 5.12.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.4.4.1

$\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ をかけます。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

ステップ 5.12.4.4.2

$\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ を $1$ 乗します。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

ステップ 5.12.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.12.4.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

ステップ 5.12.4.4.5

${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ を $| t (t^{2} - 3) |$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ を ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.12.4.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.12.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.12.4.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.4.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.12.4.4.5.4.2

式を書き換えます。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

ステップ 5.12.4.4.5.5

簡約します。

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.4.5

${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ に書き換えます。

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.5

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.1

分配則を当てはめます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.2

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.2.1

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.2.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.3

$- 3$ を $t$ の左に移動させます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.4

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.5

${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ を $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.6

分配法則（FOIL法）を使って $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.6.1

分配則を当てはめます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.6.2

分配則を当てはめます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.6.3

分配則を当てはめます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1.1

指数を足して $t^{3}$ に $t^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.1.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.3

指数を足して $t^{3}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1.3.1

$t$ を移動させます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.3.2

$t$ に $t^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1.3.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.4

指数を足して $t$ に $t^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1.4.1

$t^{3}$ を移動させます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.4.2

$t^{3}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1.4.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.6

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.7.1.6.1

$t$ を移動させます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.6.2

$t$ に $t$ をかけます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.1.7

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.7.2

$- 3 t^{4}$ から $3 t^{4}$ を引きます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.8

$t^{2}$ を $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.8.1

$t^{2}$ を $t^{6}$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.8.2

$t^{2}$ を $- 6 t^{4}$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.8.3

$t^{2}$ を $9 t^{2}$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.8.4

$t^{2}$ を $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.8.5

$t^{2}$ を $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.9

$t^{4}$ を ${(t^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.10

$u = t^{2}$ とします。 $u$ を $t^{2}$ に代入します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.11

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.6.11.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.11.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

ステップ 5.12.6.11.3

多項式を書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.11.4

$a = u$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 5.12.6.12

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

微分積分 例

微分積分例