微分積分例

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(e^{x} + 1) d x$ を引きます。

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{e^{x}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{e^{x}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4.3

式を書き換えます。

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

ステップ 4.3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

ステップ 4.3.4

式を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$e^{x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.4.2

簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.1

${(e^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.4.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

ステップ 4.3.4.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

ステップ 4.3.4.2.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

ステップ 4.3.5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.3.5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

ステップ 4.3.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

ステップ 4.3.7

簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

ステップ 4.3.7.2

$\int e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

ステップ 4.3.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

ステップ 4.3.9

簡約します。

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

ステップ 4.3.10

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - x + e^{- x} + K$

微分積分 例

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