微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{x}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

$y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x}$

ステップ 1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

ステップ 3.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

ステップ 3.2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y | x^{2}) = C$

ステップ 3.2.1.3

$\ln (| y | x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x^{2} | y |) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} | y |)} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} | y |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = x^{2} | y |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $x^{2} | y | = e^{C}$ として書き換えます。

$x^{2} | y | = e^{C}$

ステップ 3.5.2

$x^{2} | y | = e^{C}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$x^{2} | y | = e^{C}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$| y |$ を $1$ で割ります。

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

ステップ 3.5.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C \frac{1}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例