微分積分例

$\frac{y d y}{t d t} = e^{t^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d t}$ を因数分解します。

$\frac{y}{t} \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}}$

ステップ 1.2

$\frac{d y}{d t}$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{y}{t}$ と $\frac{d y}{d t}$ をまとめます。

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} = e^{t^{2}}$

ステップ 1.2.2

両辺に $t$ を掛けます。

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

ステップ 1.2.3

簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

ステップ 1.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}} t$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$e^{t^{2}} t$ の因数を並べ替えます。

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

ステップ 1.2.4

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$\frac{d y}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y d y = t e^{t^{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int t e^{t^{2}} d t$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t e^{t^{2}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = t^{2}$ とします。次に $d u = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = t^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$t^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{t^{2}}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{2} = e^{t^{2}} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + K}$

微分積分 例

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