微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

ステップ 1

$P (x) = 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 3 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{3 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{3 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{3 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{3 x}$ を掛けます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

ステップ 2.3

指数を足して $e^{3 x}$ に $e^{- 2 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

ステップ 2.3.2

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

ステップ 2.4

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

ステップ 6.2

$u = x$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

ステップ 6.3.2

$x$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

ステップ 6.4

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

ステップ 6.5

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.5.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.5.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 6.5.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 6.5.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 6.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

ステップ 6.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

ステップ 6.7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

ステップ 6.8

簡約します。

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ステップ 6.8.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

ステップ 6.8.2

$3$ に $3$ をかけます。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

ステップ 6.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

ステップ 6.10

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

ステップ 6.11

簡約します。

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

ステップ 6.12

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

ステップ 7

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2

$\frac{1}{3} x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.2

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- \frac{1}{9}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.3

$e^{x}$ と $e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.3.1

$e^{3 x}$ を $e^{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.3.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2.4

$e^{- 2 x}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{3} x$ から $\frac{1}{9}$ を引きます。

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ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x$ を並べ替えます。

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.2.2

$x \frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.2.3

$x \frac{1}{3}$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.3.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.4

$e^{- 2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.5

項を簡約します。

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ステップ 7.3.5.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.6.1

$9$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.6.2

項を並べ替えます。

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.7

$\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ を掛けます。

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.8

$\frac{C}{e^{3 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 7.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9 e^{3 x}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.9.1

$\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ に $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ をかけます。

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 7.3.9.2

$\frac{C}{e^{3 x}}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

ステップ 7.3.9.3

$e^{3 x} \cdot 9$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

ステップ 7.3.10

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

ステップ 7.3.11

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.11.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

ステップ 7.3.11.2

簡約します。

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ステップ 7.3.11.2.1

指数を足して $e^{- 2 x}$ に $e^{3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.11.2.1.1

$e^{3 x}$ を移動させます。

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

ステップ 7.3.11.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

ステップ 7.3.11.2.1.3

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

ステップ 7.3.11.2.2

$- 1 e^{3 x}$ を $- e^{3 x}$ に書き換えます。

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

ステップ 7.3.11.3

$9$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

微分積分 例

微分積分例