微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

$v = \frac{d y}{d x}$ とします。すると $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $\frac{d v}{d x}$ を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $x$ について微分方程式を得ます。

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 0$

ステップ 2

$P (x) = 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 3 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{3 x + C_{1}}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{3 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{3 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{3 x}$ を掛けます。

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 0$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 0$

ステップ 3.3

$e^{3 x}$ に $0$ をかけます。

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$

ステップ 3.4

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 0$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 0$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 0 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{3 x} v = \int 0 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$e^{3 x} v = 0 + C_{2}$

ステップ 7.2

$0$ と $C_{2}$ をたし算します。

$e^{3 x} v = C_{2}$

ステップ 8

$e^{3 x} v = C_{2}$ の各項を $e^{3 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{3 x} v = C_{2}$ の各項を $e^{3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

ステップ 10

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

ステップ 11

両辺を積分します。

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ステップ 11.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

ステップ 11.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

ステップ 11.3

右辺を積分します。

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ステップ 11.3.1

$C_{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $C_{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

ステップ 11.3.2

式を簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

$e^{3 x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

ステップ 11.3.2.2

簡約します。

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ステップ 11.3.2.2.1

${(e^{3 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

ステップ 11.3.2.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

ステップ 11.3.2.2.2

$e^{- 3 x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

ステップ 11.3.3

$u = - 3 x$ とします。次に $d u = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.3.3.1

$u = - 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.3.3.1.1

$- 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 11.3.3.1.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 11.3.3.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 11.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

ステップ 11.3.4

簡約します。

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ステップ 11.3.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

ステップ 11.3.4.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{3} = C_{2} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 11.3.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = C_{2} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

ステップ 11.3.6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

ステップ 11.3.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u} + C_{4}))$

ステップ 11.3.8

簡約します。

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{u}) + C_{5}$

ステップ 11.3.9

$u$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C_{5}$

ステップ 11.3.10

項を並べ替えます。

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{5}$

ステップ 11.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + D$

微分積分 例

微分積分例