微分積分例

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$

ステップ 1

微分方程式をベルヌーイ法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

ステップ 1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

ステップ 1.3

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{3}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 2}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{- \frac{1}{2}}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$v^{- \frac{1}{2}}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 5.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

ステップ 5.5

簡約します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 5.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 5.6.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

$v^{\frac{1}{2}}$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 5.6.2.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 5.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 5.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.7.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.7.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.10

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.12

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.13

$\frac{1}{2}$ と $v^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $v^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 5.15

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

ステップ 5.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ と $v'$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

ステップ 5.17

$\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ を積として書き換えます。

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

ステップ 5.18

$\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{v}$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

ステップ 5.19

$v$ を $1$ 乗します。

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 5.20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 5.21

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 5.22

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 5.23

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$ の $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- \frac{1}{2}}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ の各項に $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ の各項に $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1

$2 v^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.2

$2 v^{\frac{3}{2}}$ を $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.4

指数を足して $v^{- \frac{1}{2}}$ に $v^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.4.1

$v^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.4.4

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.4.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2))$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.7

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x \cdot 2} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.8

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2 \cdot x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.9

$v$ と $\frac{1}{2 x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.10.1

$- \frac{v}{2 x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.10.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.10.3

$2$ を $- 1 \cdot (2)$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.10.4

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.10.5

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} \cdot - 1 = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.11

$\frac{- v}{x}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v \cdot - 1}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1 v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.13

$v$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$\frac{5}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 7.1.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 1 \cdot 2 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

$2$ を $- 1 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - (5 x^{3}) {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.4.2

${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.4.2.2

$- \frac{1}{2} \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.4.2.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.4.2.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.5

指数を足して $v^{- \frac{3}{2}}$ に $v^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.5.1

$v^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 7.1.1.3.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3 - 3}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.5.4

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{0}{2}}$

ステップ 7.1.1.3.5.5

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{0}$

ステップ 7.1.1.3.6

$- 5 x^{3} v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3}$

ステップ 7.1.2

$v$ を $\frac{v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - 5 x^{3}$

ステップ 7.1.3

$v$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - 5 x^{3}$

ステップ 7.2

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 7.2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 7.2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 7.3

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- 5 x^{3})$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

ステップ 7.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

ステップ 7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- 5 x^{3})$

ステップ 7.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x \cdot x^{3}$

ステップ 7.3.4

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x)$

ステップ 7.3.4.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x^{1})$

ステップ 7.3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{3 + 1}$

ステップ 7.3.4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{4}$

ステップ 7.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x v] = - 5 x^{4}$

ステップ 7.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - 5 x^{4} d x$

ステップ 7.6

左辺を積分します。

$x v = \int - 5 x^{4} d x$

ステップ 7.7

右辺を積分します。

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ステップ 7.7.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$x v = - 5 \int x^{4} d x$

ステップ 7.7.2

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$x v = - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

ステップ 7.7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.7.3.1

$- 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ を $- 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ に書き換えます。

$x v = - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

ステップ 7.7.3.2

簡約します。

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ステップ 7.7.3.2.1

$- 5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$x v = \frac{- 5}{5} x^{5} + C$

ステップ 7.7.3.2.2

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.2.2.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5} x^{5} + C$

ステップ 7.7.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.2.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} x^{5} + C$

ステップ 7.7.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} x^{5} + C$

ステップ 7.7.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$x v = \frac{- 1}{1} x^{5} + C$

ステップ 7.7.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$x v = - x^{5} + C$

ステップ 7.8

$x v = - x^{5} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.8.1

$x v = - x^{5} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.8.3.1

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1.1

$x$ を $- x^{5}$ で因数分解します。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.3.1.2.4

式を書き換えます。

$v = \frac{- x^{4}}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.8.3.1.2.5

$- x^{4}$ を $1$ で割ります。

$v = - x^{4} + \frac{C}{x}$

ステップ 8

$y^{- 2}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 2} = - x^{4} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例